LehrstĂŒcke

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Mathematik
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Sek I, Sek II

Euklids Primzahlenbeweis

Die Primzahlen faszinieren als kleinste, unteilbare Bausteine der Zahlentheorie, die sich jeder RegelmÀssigkeit zu widersetzen scheinen.
Wir kennen sie von den Teilbarkeitsregeln, der Primzahlzerlegung und vom Bruchrechnen. Auf dem Zahlenstrahl fĂ€llt ihre UnregelmĂ€ssigkeit auf. Suchen wir sie in einer Zahlentabelle, so entsteht fast automatisch das „Sieb des Eratosthenes“ als Methode zum Finden dieser Primbausteine. Und es zeigt sich, dass deren Dichte mit wachsender GrĂ¶ĂŸe der Zahlen abnimmt.
Unweigerlich entstehen die Fragen: „Und wie geht es weiter? Gibt es eine grĂ¶ĂŸte Primzahl? Gibt es unendlich viele Primzahlen?“ Immer wieder höre ich als Antwort: „Das kann man nicht wissen.“ – Und doch, schon die Griechen vor 2300 Jahren wussten es! Ob da wohl eine Formel weiterhelfen kann?

Eine Lösung scheint in Sicht, wenn wir unsere endlich vielen Primzahlen multiplizieren und 1 addieren, doch Beispiele zeigen, dass diese neue Zahl keine Primzahl sein muss. Die EnttĂ€uschung ist gross. Selbst Variationen des Ansatzes fĂŒhren zum selben „Scheitern“. Erst beim genaueren Hinschauen gelingt der ĂŒberraschende Durchbruch. Wir sehen ein, dass wir unseren endlich vielen Primzahlen mindestens eine neue hinzufĂŒgen können und der Vorgang lĂ€sst sich unendlich oft wiederholen! Mit einfachsten Mitteln erlaubt unser Denken eine Aussage ĂŒber die Unendlichkeit einer Menge!
Und wie viele Primzahlzwillinge (5,7 / 11,13 / 17,19) gibt es wohl? Bis heute wissen wir es nicht! Werden wir es je wissen?

Inszeniert in

Bern CH
Marburg D
Trogen CH
Luzern CH

LehrstĂŒckbericht

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BrĂŒngger 2005

Material

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Werner 1995
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Wagenschein: Ein UnterrichtsgesprĂ€ch zu dem Satz des Euklid ĂŒber das Nicht-Abbrechen der Primzahlenfolge
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PREZI (Einstieg in das LehrstĂŒck)
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PREZI 2 (Abschluss des LehrstĂŒcks)