LehrstĂŒcke

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Mathematik
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Sek I, Sek II

Pythagoras' Dreiecksquadrate

Es ist der wahrscheinlich berĂŒhmteste Satz der gesamten Mathematik ĂŒberhaupt: Fast jeder kann „aquadratplusbequadrat...“ murmeln, und manche wissen auch noch, wie es dann weitergeht (nĂ€mlich: „...istgleichcequadrat“). Doch was wirklich hinter diesem Satz, dem „Satz des Pythagoras“ steckt, dass dieser nĂ€mlich eine Aussage ĂŒber die FlĂ€cheninhalte von Quadraten macht, dass dieser sich sogar auf beliebige Ă€hnliche Figuren verallgemeinern lĂ€sst und dass sich darĂŒber hinaus das alles auch noch auf vielen Wegen aber immer eindeutig, erschlagend klar und umwerfend prĂ€zise beweisen lĂ€sst, das ist dann nur noch wenigen bekannt. Und noch mehr: Nirgendwo sonst in der Schulmathematik findet man so viele verschiedene „ErklĂ€rungsmöglichkeiten“ fĂŒr denselben Sachverhalt, nirgendwo bietet es sich so an wie hier, anhand der Vielfalt der unterschiedlichen Beweise das Beweisen selbst zu thematisieren.

Doch zuvorderst steht die Formulierung des Satzes selbst. Dazu liegen 24 farbige Quadrate auf dem Boden des Klassenzimmers, sie alle sollen zu einem einzigen vereint werden. Wie kann das gehen? Schnell schaffen wir dies mit zwei gleichgroßen Quadraten, und nach kurzer Zeit gelingt es uns auch, zwei unterschiedlich große Quadrate (nennen wir sie a2 und b2) zu einem einzigen, neuen Quadrat (sagen wir c2) zusammenzulegen – damit haben wir den Satz des Pythagoras selbst entdeckt: a2 + b2 = c2. Doch können wir ihn auch beweisen? Ja, sogar auf ĂŒber zehn unterschiedliche Arten: Wir können FlĂ€chen verwandeln, Formelrechnungen aufstellen oder mit ÄhnlichkeitsverhĂ€ltnissen argumentieren. Jeder SchĂŒler wird nun Experte fĂŒr einen Beweis. Im Ringen um die exakte Formulierung schulen wir uns besonders im logischen Argumentieren. Schließlich prĂ€sentieren die einzelnen Gruppen ihre grob unterschiedlichen Beweise – Recht haben sie alle. Und in jedem einzelnen taucht der berĂŒhmte euklidische Beweis-Dreischritt auf: Voraussetzung-Behauptung-Beweis. Das 2.500 Jahre alte Beweis-Paradigma Euklids hat also bis heute Bestand!

Nachdem in einer dritten Sequenz der Satz angewendet, d. h. in seiner EinsatzfĂ€higkeit erprobt und somit in seiner Bedeutung noch umfassender gegenwĂ€rtig wird, verallgemeinern wir ihn abschließend auf beliebige Ă€hnliche Figuren – und wieder ist Euklid hierbei ein wichtiger Helfer.

Variation, Sekundarstufe I, Marburg:

Im RĂŒckgriff auf altĂ€gyptische Seilspanner und einen (erdachten) Magier Pythagoras wird der Satz mit seinem Ineinander von Geometrie und Algebra deutlich: Von FlĂ€chen handelt er, von quadratischen FlĂ€chen – und damit auch von quadratischen Zahlen und deren Beziehung zueinander, so sie aus einem rechtwinkligen Dreieck entstehen. Wie könnte man selbst darauf kommen? Und: LĂ€sst sich der Zusammenhang erklĂ€ren? Und wenn: Sollte nicht eine ErklĂ€rung, ein Beweis genĂŒgen?

Nirgendwo sonst in der Schulmathematik findet man so viele verschiedene “ErklĂ€rungsmöglichkeiten” fĂŒr denselben Sachverhalt; nirgendwo bietet es sich infolgedessen so an wie hier, anhand der Vielfalt der Beweise das Beweisen selbst zu thematisieren. So werden die SchĂŒler und SchĂŒlerinnen zunĂ€chst zu Experten, die selbst um einen Beweis ringen, Folgerungen ziehen, Ideen verwerfen und neue entwickeln, bis sie klar und unabweisbar dasteht: die Aussage des Satzes des Pythagoras.

Wie haben andere Experten dies gezeigt? Im Unterricht zeigen Euklid, „Prof. Binomi“ und Willmann ihre Verfahren und damit zugleich auch andere Sichtweisen auf denselben Inhalt: FlĂ€chen umformen, Formelrechnungen oder ÄhnlichkeitsverhĂ€ltnisse zeigen je auf ihre Weise, dass der Satz des Pythagoras gilt. Und in der Abschlussrunde können wir gemeinsam vergleichend betrachten: Welcher Experte, welcher Weg hat mich persönlich am meisten ĂŒberzeugt? Recht haben sie alle, so wie wir auch – aber bei wem können bzw. konnten wir am besten verstehen? Hier dĂŒrfen wir ganz individuell entscheiden, jenseits des strengen „Richtig“ und „Falsch“ der Mathematik! Und in einer dritten Sequenz wird der Satz angewendet, gewissermaßen in seiner EinsatzfĂ€higkeit erprobt und somit in seiner Bedeutung noch umfassender gegenwĂ€rtig.

Inszeniert in

Basel CH
Marburg D
Bern CH
Luzern CH

LehrstĂŒckbericht

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BrĂŒngger 2005

Material

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Thurgauer LehrstĂŒckernte. 2004
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PREZI